Os sistemas fuzzy têm sido utilizados, nos últimos anos, para tratar os problemas que envolvem imprecisão. No entanto, algumas vezes é difícil para o especialista representar seu conhecimento através de números reais. Por exemplo: ele pode determinar que um determinado valor possui um grau de verdade de 0.55, mas é complicado para ele determinar se esse grau de veracidade é 0.5578 ou 0.5597, por exemplo.

Além disso, quando a aquisição do conhecimento é realizada entre vários especialistas, é comum a diferença entre alguns valores de pertinência fornecidos pelos mesmos. Dessa forma, é necessária uma alternativa para determinar qual o melhor valor que representa a dada situação.

Para resolver problemas desta natureza, este artigo propõe uma solução: a utilização de intervalos para representar os graus de pertinência dos valores. Assim, na situação anterior pode-se representar os números reais 0.5578 e 0.5597 pelo intervalo [0.55, 0.56], por exemplo.

SISTEMA FUZZY INTERVALAR

Essa teoria é uma extensão a teoria fuzzy, logo os intervalos utilizados são subintervalo do intervalo [0, 1] definido para os conjuntos fuzzy. Para a definição da teoria fuzzy intervalar são necessárias a especificação dos operadores e propriedades fuzzy intervalar, ou seja, adicionar aos operadores fuzzy a noção intervalar, assim como as propriedades.

Para o desenvolvimento de um sistema fuzzy intervalar foram estabelecidas todas as etapas do desenvolvimento de um sistema fuzzy: fuzzificação, inferência e defuzzificação em termos de intervalos.

As regras são representadas como regras fuzzy convencionais. O que mudará será a representação do conjunto fuzzy, ou seja, um valor tem associado a ele um intervalo em vez de um número real, como mostrado a seguir na função de pertinência intervalar.

FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA INTERVALAR

A construção da função de pertinência intervalar é feita utilizando intervalos na função de pertinência fuzzy, assim, em vez de tratar o valor de pertinência como um número real em sua imagem, a função de pertinência definida para o conjunto fuzzy intervalar trabalhará com um intervalo de números reais no intervalo [0, 1] ou seja sub-intervalo do intervalo [0, 1] em sua imagem.

Dessa forma, um conjunto fuzzy intervalar é definido como: : A = {(x, j_A(x))}, onde 
x Î R e j_A(x) Î I[0, 1], com I[0, 1] = { [a, b] Î IR / 0 £ a £ b £ 1}. E  j_Aé o grau de pertinência para o conjunto fuzzy intervalar A.

Figura 1: Conjunto Fuzzy Intervalar

A função de pertinência intervalar é definada em: j_A: U à [0,1] , onde U é o conjunto universo. O grau de pertinência intervalar para um conjunto fuzzy intervalar A, é dado por j_A(x), obedecendo ao teorema da continuidade, isto é, existem funções j_i, 
j_s : R à [0, 1] contínuas, tais que "x ÎR, j_A(x) = [j_i(x), j_s(x)], portanto j_i(x) £ j_s(x), onde j_i é chamada de função de limite inferior e js de função de limite superior.

FUZZIFICAÇÃO INTERVALAR

O processo de fuzzificação intervalar é similar a fuzzificação tradicional. No entanto, o grau de pertinência associado ao valor requerido é representado por um grau de pertinência intervalar, através da função de pertinência intervalar.

INFERÊNCIA INTERVALAR

No processo de inferência intervalar pode ser utilizado qualquer dos métodos de inferência tradicionais, tal como min-max, aditivo, etc. No entanto, existem duas funções para serem trabalhadas: a função do limite inferior j_i, e a função do limite superior j_s.. Então, para cada regra, terão que ser analisadas as duas funções separadamente.

O processo de defuzzificação intervalar é obtido através da defuzzificação dos conjuntos soluções inferior (di) e superior (ds), através de qualquer dos métodos de defuzzificação tradicionais, centróide, max plateau, etc. Tem-se como resultado um intervalo formado pelo valor da defuzzificação da função inferior (di) e superior (ds) ou seja,

DI = [min(di, ds), max(di, ds)].

Para calcular um único valor como solução para a defuzzificação intervalar pode ser extraído o ponto médio do intervalo encontrado:

d = (di + ds) / 2

Um exemplo simples:

Por exemplo, utilizando a inferência Min-Max, e aplicando os conceitos da inferência fuzzy intervalar com os seguintes conjuntos fuzzy intervalares A, figura 2 e B figura 3. Observe que o grau de pertinência intervalar é um intervalo, ou seja j_A(4) = [0.4, 0.6]

Figura 2: Conjunto Fuzzy Intervalar A

Figura 3: Conjunto Fuzzy Intervalar B

Considere agora a seguinte situação: seja A’ um conjunto fuzzy intervalar dado como entrada, onde o grau de pertinência intervalar para j_A’(4) = [1, 1] e para o conjunto A, o grau de pertinência intervalar j_A(4) = [0.4, 0.6], e uma regra genérica: Se x é A então y é B. A região fuzzy solução gerada, neste caso serão duas regiões: uma região para a função do limite inferior e outra para a função do limite superior. Para a função do limite inferior tem-se que o min{1, 0.4} cortará a função do limite inferior do conjunto intervalar B. E para a função do limite superior o min{1, 0.6} cortará a função do limite superior do conjunto intervalar B.

Para a defuzzificação das regiões fuzzy solução encontradas, utilizando o método de defuzzificação Maxplateau, por exemplo. Como as funções limitantes são proporcionais neste caso, os valores máximos das funções são aproximadamente:

d_i = (6.7 + 9.3) /2 = 8 e d_s = (6.3 + 9.7)/2 = 8

Assim, DI= [8, 8]

Ou então,

d = (8 + 8) /2

A saída para esse problema, ou seja a defuzzificação, possui valor aproximadamente igual a 8.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A integração de intervalos a sistemas fuzzy é um assunto que está sendo bastante estudado na comunidade científica, mas ainda não está totalmente sedimentado.

Este é um trabalho de investigação teórica, não tem ainda nenhum resultado de implementação. Este, no entanto, é o próximo passo a ser seguindo, depois que a teoria fuzzy intervalar estiver formulada.

A maior contribuição deste trabalho está na aquisição dos dados do especialista, facilitando muito pelo fato de o mesmo não se preocupar tanto com a precisão de suas informações para o mapeamento dos graus de pertinência.