Autor: Pedro Luis Kantek Garcia Navarro

O que é

Fractal, em matemática, é uma forma geométrica que é complexa e detalhada em qualquer nível de ampliação com que seja olhada. Freqüentemente fractais são auto-semelhantes, isto é, eles têm a propriedade de que cada porção pequena do fractal pode ser vista como uma réplica reduzida do todo. Um exemplo de um fractal é a " curva de floco de neve", construída levando um triângulo eqüilátero e triângulos eqüiláteros menores repetidamente erguendo-se no terço mediano dos lados progressivamente menores. Teoricamente, o resultado seria uma figura de área finita mas com um perímetro de comprimento infinito, consistindo em um número infinito de vértices. Em condições matemáticas, não pode ser diferenciada tal curva. Há muitas estruturas matemáticas que são fractais; por exemplo: o triângulo de Sierpinski, o floco de neve de Koch, a curva de Peano, o conjunto de Mandelbrot, e o atrator de Lorenz.

Um ponto decisivo no estudo de fractais veio com a descoberta de geometria fractal pelo matemático francês Benoit B. Mandelbrot (nascido na Polônia) nos anos setenta. Mandelbrot adotou uma definição muito mais abstrata de dimensão do que a que é usada na geometria Euclideana. O resultado é que um fractal não pode ser tratado como existindo estritamente em uma, duas, ou qualquer outra dimensão de número inteiro. Ao invés, deve ser alguma dimensão fracionária. A "curva de floco de neve" tem uma dimensão de 1.2618.

De acordo com Mandelbrot que inventou a palavra: "Eu cunhei fractal do adjetivo latino fractus. O verbo latino correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, além de fragmentou (como em fração ou refração), fractus também deveria querer dizer "irregular", ambos significados que são preservados em fragmento.

A natureza é fractal. Construções teóricas é que são linhas retas, superfícies planas e assim por diante. Ou seja, não é o fractal que é artificial. É a geometria Euclidiana que o é… São exemplos de fractais: um litoral, uma samambaia, um perfil montanhoso, etc.

Também foram usados fractais para comprimir imagens em computadores. Em 1987, um matemático inglês descobriu a Transformada fractalTM que automaticamente descobre códigos de fractal em imagens do mundo real. A descoberta gerou o conceito de compressão fractal, usada em uma variedade de sistemas multimedia e outras aplicações de computador baseadas em imagem.

Benoit Mandelbrot

O fractal mais famoso que existe é o chamado "conjunto de Mandelbrot". Já se disse que este conjunto é o mais complexo elemento da matemática que os olhos humanos já viram. Para poder entender como se contrói o CM, é necessário relembrar alguma coisa da Teoria dos Números.

Teoria dos Números

Como se sabe, os números começam com o conjunto dos Naturais (0,1,2… ¥ ) e a operação de adição (2+3=5). Quando se inclui a inversa da adição (subtração) a coisa pode complicar, pois se 3-2=1, 2-3=? Não pode ser realizada neste conjunto. Para resolver essa questão, surge o conjunto dos inteiros, que é formado pelos naturais mais os negativos, ou seja (-¥ , … -2, -1, 0, 1, 2, …, ¥ ).

Seja agora a multiplicação, onde temos 12 ¸ 4= 3. Entretanto, algumas expressões podem ficar sem resposta, algo como 4¸ 3=? Para resolver esta questão, acrescentam-se novos números ao conjunto e passamos a ter os racionais.

Eles têm esse nome porque podem ser representados como frações, por exemplo 4/3. Agora os racionais são os inteiros mais os números na forma p/q.

Agora temos os números não inteiros, mas que não são resultados de uma fração, como por exemplo o número p (3.14159265…). Este número tem infinitos dígitos de comprimento. Agregando-se estes números (denominados irracionais) aos racionais tem-se os números reais.

A próxima operação que apresenta problemas é a radiciação. Seja por exemplo a equação x2+1=0. Não existe número real tal que substituindo x na equação acima, esta seja satisfeita. Isso porque, resolvendo-a tem-se:

Para resolver esta dificuldade, agrega-se aos reais um novo conjunto na forma a+bi, onde a e b são reais e I é um número especial chamado "unidade imaginária", e é igual a

Assim como os números reais podem ser dispostos na forma de uma reta numerada, os números complexos podem ser dispostos ao longo de um plano, que contém dois eixos (representados por a e b). Este plano denomina-se "plano de Argand-Gauss"

Embora sendo x e y dois números complexos, não se possa estabelecer uma relação de ordem (ou seja, é impossível dizer se x > y ou vice-versa), podem-se operar dois complexos usando a adição, subtração, multiplicação e divisão.

Todas elas são realizadas como se os números x e y (complexos) fossem polinômios na variável i. Assim temos:

Isto posto, o CM, é obtido através da análise de todos os pontos de um conjunto que está no plano de Argand Gauss. O conjunto de Mandelbrot é o conjunto de todos os números complexos c tais que após um certo número de iterações z = z^2 + c, z não tende para infinito. O valor inicial de z é zero.

Mediante uma análise matemática simples, determina-se para cada ponto, se ele pertence ou não ao CM. Pintando-se de uma cor a uns e de outra a outros, obtém-se uma visualização do CM, que tem este aspecto:

Para cada ponto do plano complexo (ou melhor dizendo: para cada ponto de uma grade sobre o plano complexo), far-se-á uma seqüência de iterações. Se ao final dessa seqüência, o resultado final estiver fora do círculo de raio = 2, o ponto está fora do CM. Se o resultado for menor que 2, o ponto está dentro do CM. Embora o cálculo correto fosse testar o ponto contra infinito, pode-se fazer o teste com 2. (Se o ponto ultrapassa 2, ele tenderá ao infinito).

A fórmula da iteração é:

É claro que para decidir se o ponto está ou não dentro do círculo de raio = 2, há que se ter um ponto de parada. Não se pode testar um ponto ao infinito. Se, nas primeiras 1000 iterações o ponto não saiu do círculo, não há garantia de que na vez 1001 ele não vá sair.

Portanto, a definição do CM é:

O conjunto de pontos do plano complexo, que após iterados k vezes, segundo a fórmula

Esta definição estaria ótima para pintar o fractal em 2 cores (pertence ou não pertence), mas há um truque que torna os fractais muito mais bonitos: a cor.

É hora de fazer uma distinção entre Fractal de Mandelbrot e Conjunto de Mandelbrot. O conjunto é apenas a reunião dos pontos que satisfazem a iteração acima. O fractal é um desenho formado por esse conjunto e pelos pontos externos, todos eles pintados de alguma maneira especificada.

Usa-se a cor, contando-se quantas iterações são necessárias para que o ponto saia do círculo. Por exemplo, poderíamos ter, para um CM com k = 300:

O zoom da imagem é obtido diminuindo-se o tamanho da malha que é colocada sobre o plano complexo. Por exemplo, podemos começar com os limites

Se escolhermos um zoom de 10 vezes, ainda centrado na origem, a variação passa a ser de

Note-se que o limite de ampliação da imagem (zoom) está limitado unicamente pela aritmética de ponto flutuante do computador e não pela característica do Conjunto de Mandelbrot.

Note-se, também, que quanto maior k, mais refinada é a imagem, enquanto mais demorada o é.

Dimensão Fractal

A dimensão de um fractal pode ser calculada tomando o limite do quociente do logaritmo da mudança do tamanho de objeto e o logaritmo do tamanho do objeto antes da mudança, em medidas de escala.

Por exemplo, considere uma linha direta. Agora dobre a linha. Ela ficará com um comprimento multiplicado por um fator de dois. A linha é agora duas vezes mais comprida que antes. Log 2 / Log 2 = 1, correspondendo à dimensão 1. Considere um quadrado. Agora expanda o quadrado por um fator de dois. O quadrado é agora 4 vezes maior (i.e. 4 quadrados podem ser colocados no quadrado original). Log 4 / Log 2 = 2, correspondendo à dimensão 2 para o quadrado. Considere uma curva de floco de neve formado substituindo _ _ _ repetidamente com _/\_ onde cada das 4 linhas novas é maior 1/3 do que a linha velha. Explodindo a curva de floco de neve por um fator de 3 resultados em uma curva de floco de neve 4 vezes maior e temos: Log 4 / log 3 = 1.261... Desde que a dimensão 1.261 é maior que a dimensão 1 das linhas que compõem a curva, a curva de floco de neve é um fractal.

Dimensão topológica é a " idéia normal " de dimensão; um ponto tem dimensão topológica 0, uma linha tem 1, uma superfície tem dimensão topológica 2, etc.

Para uma definição rigorosa:

Um conjunto tem dimensão topológica 0 se todo ponto do conjunto tem vizinhos tão arbitrariamente próximos quanto se queira, cujos limites não cruzam o conjunto.

Um conjunto S tem dimensão topológica k se cada ponto em S tem vizinhança arbitrariamente pequena cujos limites interceptam S em um conjunto de dimensões k-1, e k é o menor inteiro não negativo para o qual isto se segura.

Caos

Caos é o comportamento aparentemente impossível de predizer que surge em um sistema determinístico por causa de grande sensibilidade para as condições iniciais. Caos surgem em um sistema dinâmico se dois pontos de partida arbitrariamente próximos divergem exponencialmente, de forma que o comportamento futuro deles é eventualmente impossível de predizer.

O tempo é considerado caótico já que variações arbitrariamente pequenas nas condições iniciais podem resultar depois em tempo radicalmente diferente. Isto pode limitar as possibilidades de prever o tempo a longo prazo. (O exemplo canônico é do bater das asas de uma borboleta no Brasil que afeta o tempo bastante para causar um furacão em Taiwan 2 semanas depois.)

Uma função é caótica se tem dependência sensível em suas condições iniciais, se é topologicamente transitiva, e os pontos periódicos são densos. Em outra palavras, é impossível de predizer, indecomponível, e, ainda assim, contém regularidade.

Allgood e Yorke definem caos como uma trajetória que é exponencialmente instável e nem é periódica ou assintoticamente periódica. Quer dizer, oscila irregularmente sem se estabelecer.

Sistemas dinâmicos, diagramas estado tempo e atratores estranhos

Um atrator estranho é o conjunto limite de uma trajetória caótica. Um atrator estranho é um atrator que é topologicamente distinto de uma órbita periódica ou um ciclo limite. Um atrator estranho pode ser considerado um atrator fractal.

Se o sistema é sensível às condições iniciais, as trajetórias dos pontos que definem as condições iniciais se mudarão para algumas direções separadamente, próximos de outros. Em última instância, todos os pontos vão se localizar ao longo de uma linha fina de zero volume. Este é o atrator estranho. Todos os pontos iniciais no espaço de fase que irão para o atrator formam uma Bacia de Atração. Um atrator estranho resulta se um sistema é sensível às condições iniciais e não é conservador.

Nota: Enquanto todos o atratores caóticos são estranhos, não todo atrator estranho, é caótico.

Winfract

O programa Winfract é capaz de aumentar a imagem 10 vezes, usando um fator de zoom de aproximadamente 20 a cada vez. Na ampliação máxima um fractal de Mandelbrot de 1x10-12 de largura preencherá toda a tela. Nesse momento, o fractal original com 4 unidades de altura, teria, se desenhado em verdadeira grandeza, cerca de 80 minutos luz de comprimento, ou dez vezes a distância entre a terra e o sol. Isso considerado, pense que se você ampliar bastante o CM, é quase certo que o pedaço que você estará olhando NUNCA antes tenha sido visto por olhos humanos. Você até pode batizar esse pedaço do fractal com um nome escolhido por você… o amor da sua vida, o nome do seu gato, o apelido de infância daquele seu cunhado chato…

O programa WINFRACT é uma construção coletiva de software (à LINUX), e pode ser encontrada no repositório SIMTEL.NET, em http://ftp.unicamp.br / pub / simtelnet / win3 / graphics / winf1821.zip (executável) e http://ftp.unicamp.br / pub / simtelnet / win3 / graphics / wins1821 (os fontes).

Referências Bibliográficas:

DEWDNEY, A. K. The Tinkertoy computer.

/s. n. t./

FRACTAL FAQ. Disponível na Internet. ftp://ftp.unicamp.br/pub/FAQ/fractal-faq)

GLEICK, James. Caos. Rio de Janeiro: Campus, 1990.

PETERSON, Wagner; BRANDERHROST, Tyler. Fractais para Windows, /s. l./ Berkeley do Brasil /s. d./