Quantas cores são necessárias para colorir um mapa se as regiões com fronteiras parcialmente comuns tiverem de ser pintadas de cores diferentes? (Duas regiões com um ponto comum podem ser da mesma cor.)

O mapa abaixo foi pintado com cinco cores, como se deduz dos tipos de tracejado usados na figura, mas podem, de fato, usar-se apenas quatro cores. Como?

Praticamente desde que se começaram a elaborar mapas que os cartógrafos acreditavam que só eram necessárias quatro cores para pintar as diferentes regiões. Os matemáticos tentaram demonstrar este  fato desde que Mobius o referiu numa conferência, em 1840. Contudo, ninguém conseguiu fazê-lo até que, em 1978, dois matemáticos americanos utilizaram um computador potentíssimo para analisar 
a situação. Mas muita gente continua a ter o pressentimento de que, um dia, alguém vai descobrir um mapa que não poderá ser colorido com apenas quatro cores... é capaz de descobrir um?

BOLT, Brian. Actividades matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1991.

A experiência mostra que os estudantes gostam do desafio de descobrir um mapa que não possa ser pintado com menos de cinco cores e muitas vezes pensam que foram bem sucedidos, até que alguém lhes mostra uma outra forma de o colorir utilizando apenas quatro cores. A figura abaixo mostra como o mapa dado pode ser pintado usando só quatro cores.

Curiosamente, na superfície dum toro (sólido semelhante a uma bóia) é possível desenhar um mapa que não pode ser pintado com menos de sete cores.

Cortaram-se alguns cantos de quatro cubos de madeira. Depois dos cortes, só dois sólidos
 ficaram com a mesma forma. De quais se trata?

BOLT, Brian. Actividades matemáticas. Lisboa :Gradiva, 1991.